1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов Центральное место в языке структурированных запросов SQL занимает оператор Select, с помощью которого реализуется самая востребованная операция при работе с базами данных – запросы.Оператор Select

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete()

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete() Оператор-член new() может быть перегружен при условии, что все объявления имеют разные списки параметров. Первый параметр должен иметь тип size_t:class Screen {public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...};Остальные параметры

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:

В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : $\backslash Delta=\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash operatorname\{grad\}$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $\backslash \; \backslash operatorname\{grad\}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $\backslash Delta=\backslash nabla\backslash cdot\backslash nabla=\backslash nabla^2$ , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция $\backslash \; f\; (x)$ имеет в окрестности точки $\backslash \; x\_0$ непрерывную вторую производную $\backslash \; f$(x), то, как это следует из формулы Тейлора

$\backslash \; f(x\_0+r)=f(x\_0)+rf"(x\_0)+\backslash frac\{r^2\}\{2\}f$(x_0)+o(r^2), при $r\backslash to\; 0,$, $\backslash \; f(x\_0-r)=f(x\_0)-rf"(x\_0)+\backslash frac\{r^2\}\{2\}f$(x_0)+o(r^2), при $r\backslash to\; 0,$

вторая производная есть предел

$\backslash \; f$(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Если, переходя к функции $\backslash \; F$ от $\backslash \; k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки $M\_0(x\_1^0,x\_2^0,\; ...\; ,x\_k^0)$ рассматривать её $\backslash \; k$ -мерную шаровую окрестность $\backslash \; Q\_r$ радиуса $\backslash \; r$ и разность между средним арифметическим

$\backslash \; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma(S\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{S\_r\}Fd\backslash sigma$

функции $\backslash \; F$ на границе $\backslash \; S\_r$ такой окрестности с площадью границы $\backslash \; \backslash sigma(S\_r)$ и значением $\backslash \; F(M\_0)$ в центре этой окрестности $\backslash \; M\_0$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции $\backslash \; F$ в окрестности точки $\backslash \; M\_0$ значение лапласиана $\backslash \; \backslash Delta\; F$ в этой точке есть предел

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_\{r\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{2k\}\{r^2\}\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma(S\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{S\_r\}F(M)d\backslash sigma\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash \}.$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции $\backslash \; F$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_\{r\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{2(k+2)\}\{r^2\}\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{1\}\{\backslash omega(Q\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{Q\_r\}F(M)d\backslash omega\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash \},$ где $\backslash \; \backslash omega(Q\_r)$ - объём окрестности $\backslash \; Q\_r.$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в .

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции $\backslash \; F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве $q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3$:

$\backslash Delta\; f\; (q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =\; \backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash operatorname\{grad\}\backslash ,f(q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =$ $=\backslash frac\{1\}\{H\_1H\_2H\_3\}\backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_1\}\backslash left(\backslash frac\{H\_2H\_3\}\{H\_1\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_1\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_2\}\backslash left(\backslash frac\{H\_1H\_3\}\{H\_2\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_2\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_3\}\backslash left(\backslash frac\{H\_1H\_2\}\{H\_3\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_3\}\; \backslash right)\backslash right],$ где $H\_i\backslash$ - коэффициенты Ламе .

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $\backslash \; r=0$:

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial \over \partial r}

\left(r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}

\left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}

\left(rf \right)

+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если $\backslash \; f=f(r)$ в n -мерном пространстве:

$\backslash Delta\; f\; =\; \{d^2\; f\backslash over\; dr^2\}\; +\; \{n-1\; \backslash over\; r\; \}\; \{df\backslash over\; dr\}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\backslash Delta\; F(u,v,z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2(u^2+v^2)\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; u^2\}+\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; v^2\}\backslash right]\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g\_\{ij\}$ - риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$ds^2\; =\backslash sum^n\_\{i,j=1\}g\_\{ij\}\; dx^idx^j$ .

Обозначим через $g^\{ij\}$ элементы матрицы $(g\_\{ij\})^\{-1\}$ и

$g\; =\; \backslash operatorname\{det\}\; g\_\{ij\}\; =\; (\backslash operatorname\{det\}\; g^\{ij\})^\{-1\}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного координатами $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\backslash sum\_i\; F^i\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\backslash operatorname\{div\}\; F\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}(\backslash sqrt\{g\}F^i)$,

а компоненты градиента функции f - по формуле

$(\backslash nabla\; f)^j\; =\backslash sum^n\_\{i=1\}g^\{ij\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^i\}.$

Оператор Лапласа - Бельтрами на $X$:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname\{div\}\; (\backslash nabla\; f)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}\backslash Big(\backslash sqrt\{g\}\; \backslash sum^n\_\{k=1\}g^\{ik\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^k\}\backslash Big).$

Значение $\backslash Delta\; f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"

Литература

Ссылки

Отрывок, характеризующий Оператор Лапласа

Женитьба на богатой невесте в Петербурге не удалась Борису и он с этой же целью приехал в Москву. В Москве Борис находился в нерешительности между двумя самыми богатыми невестами – Жюли и княжной Марьей. Хотя княжна Марья, несмотря на свою некрасивость, и казалась ему привлекательнее Жюли, ему почему то неловко было ухаживать за Болконской. В последнее свое свиданье с ней, в именины старого князя, на все его попытки заговорить с ней о чувствах, она отвечала ему невпопад и очевидно не слушала его.
Жюли, напротив, хотя и особенным, одной ей свойственным способом, но охотно принимала его ухаживанье.
Жюли было 27 лет. После смерти своих братьев, она стала очень богата. Она была теперь совершенно некрасива; но думала, что она не только так же хороша, но еще гораздо больше привлекательна, чем была прежде. В этом заблуждении поддерживало ее то, что во первых она стала очень богатой невестой, а во вторых то, что чем старее она становилась, тем она была безопаснее для мужчин, тем свободнее было мужчинам обращаться с нею и, не принимая на себя никаких обязательств, пользоваться ее ужинами, вечерами и оживленным обществом, собиравшимся у нее. Мужчина, который десять лет назад побоялся бы ездить каждый день в дом, где была 17 ти летняя барышня, чтобы не компрометировать ее и не связать себя, теперь ездил к ней смело каждый день и обращался с ней не как с барышней невестой, а как с знакомой, не имеющей пола.
Дом Карагиных был в эту зиму в Москве самым приятным и гостеприимным домом. Кроме званых вечеров и обедов, каждый день у Карагиных собиралось большое общество, в особенности мужчин, ужинающих в 12 м часу ночи и засиживающихся до 3 го часу. Не было бала, гулянья, театра, который бы пропускала Жюли. Туалеты ее были всегда самые модные. Но, несмотря на это, Жюли казалась разочарована во всем, говорила всякому, что она не верит ни в дружбу, ни в любовь, ни в какие радости жизни, и ожидает успокоения только там. Она усвоила себе тон девушки, понесшей великое разочарованье, девушки, как будто потерявшей любимого человека или жестоко обманутой им. Хотя ничего подобного с ней не случилось, на нее смотрели, как на такую, и сама она даже верила, что она много пострадала в жизни. Эта меланхолия, не мешавшая ей веселиться, не мешала бывавшим у нее молодым людям приятно проводить время. Каждый гость, приезжая к ним, отдавал свой долг меланхолическому настроению хозяйки и потом занимался и светскими разговорами, и танцами, и умственными играми, и турнирами буриме, которые были в моде у Карагиных. Только некоторые молодые люди, в числе которых был и Борис, более углублялись в меланхолическое настроение Жюли, и с этими молодыми людьми она имела более продолжительные и уединенные разговоры о тщете всего мирского, и им открывала свои альбомы, исписанные грустными изображениями, изречениями и стихами.